| Lehrinhalte |
Partielle Differentialgleichungen:
Klassifizierung und Analyse von partiellen Differentialgleichungen; Existenz- und Eindeutigkeitssätze; analytische Methoden zur Berechnung von Lösungen partieller Differentialgleichungen.
Dynamische Systeme und Chaos:
Es wird die moderne Theorie der dynamischen Systeme im Zusammenhang mit der Chaostheorie präsentiert.
Funktionentheorie:
Komplexe vs. reelle Differenzierbarkeit, analytische Funktionen, Cauchyscher Integralsatz und Cauchysche Integralformel, Residuensatz, analytischer Spektralkalkül, Riemannscher Abbildungssatz, Riemannsche Zetafunktion, Komplexe Interpolation, Bergman Kerne.
Pseudodifferentialoperatoren und Fourier-Integraloperatoren:
Poisson Probleme, Parametrix, Operatorenkalkül, Lp Regularität, Oszillatorische Integrale, Stationäre Phase, Wellengleichung, Eikonalgleichung, Lemma von Morse.
Integralgleichungen und Randwertprobleme:
Klassifikation und Analyse von Integralgleichungen; numerische Methoden für Integralgleichungen; Zusammenhang von Anfangswert- und Randwertproblemen mit Integralgleichungen.
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme 2:
Die qualititave Theorie der Differentialgleichungen mit Anwendung auf dynamische Systeme.
Höhere Funktionentheorie:
Komplexe Ableitungen, Differentialformen, holomorphe Funktionen, harmonische und subharmonische Funktionen, Bergman-Räume, Hartogs Theorem, Pseudokonvexität und Holomorphiebereiche, das $\bar\partial$-Problem.
Singuläre Integrale und Potentialtheorie:
Interpolation von Operatoren, Hilbert-Transformation, Riesz-Transformationen, Fourier-Multiplikatoren, Litlewood Paley Theorie.
Fraktale:
Die Hausdorff-Metrik, Fixpunktsätze und Ergodensätze, iterierte und zufällige iterierte Funktionensysteme, dynamische Systeme, Julia-Mengen, äußere Maße insbesondere das Hausdorff-Maß, die Hausdorff-Dimension.
Klassische Harmonische Analysis:
Fourier-Transformation auf dem Torus: Dirichlet-, Fejer- und Poisson-Kerne, Hilbert-Transformation, Faltung, homogene Banach-Räume und Summationskerne, Maximalfunktionen und f.ü. Konvergenz. Analytische Funktionen: die Poisson Formel und harmonische Funktionen, die konjugierte harmonische Funktion, Interpolationssätze.
Spezialvorlesung Analysis, Seminar Analysis:
Spezielle Themen und aktuelle wissenschaftliche Arbeiten aus dem Fach Analysis.
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