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[ TM1WAUEPSDO ] UE Pseudodifferentialoperatoren und Fourier-Integraloperatoren

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Workload Ausbildungslevel Studienfachbereich VerantwortlicheR Semesterstunden Anbietende Uni
1,5 ECTS B3 - Bachelor 3. Jahr Mathematik Markus Passenbrunner 1 SSt Johannes Kepler Universität Linz
Detailinformationen
Quellcurriculum Bachelorstudium Technische Mathematik 2012W
Ziele Übung und Festigung wesentlicher Konzepte und Methoden der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren
Lehrinhalte 1 Einführung

  1. Faltungsintegrale
  2. Fouriertransformation
  3. Temperierte Distributionen


2 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten

3 Pseudodifferentialoperatoren

  1. Motivation, Definitionen
  2. Einfache Eigenschaften
  3. Asymptotische Entwicklung des Symbols
  4. Partition der Eins, Lokalisierung im Frequenzbereich
  5. Produkt von Pseudodifferentialoperatoren
  6. Die Adjungierte eines Pseudodifferentialoperators
  7. Die Parametrix eines Pseudodifferentialoperators
  8. Lp -Beschränktheit von Pseudodifferentialoperatoren
  9. Sobolevräume und Pseudodifferentialoperatoren


4 Oszillierende Integrale

  1. Motivation: Hochfrequente Asymptotik der Wellengleichung
  2. Methode der stationären Phase
    1. Lineare Phase
    2. Quadratische Phase
    3. Lemma von Morse
  3. Anwendung auf die Wellengleichung


5 Ergänzungen

  1. Zusammenhang zwischen Wellengleichung und Eikonalgleichung
  2. Wellengleichung mit variablen Koeffizienten
  3. Homogenisierung elliptischer Gleichungen


A Anwendungen von Fouriermultiplikatorsätzen

  1. Die Hilberttransformation
    1. Eigenschaften/Anwendungen der Hilberttransformation .
  2. Die Riesz-Transformation
    1. Eine Anwendung der Riesztransformation


B Hermite-Funktionen

  1. Definitionen, einfache Eigenschaften
  2. Entwicklung in Hermite-Reihe
  3. Hermite-Funktionen als Eigenfunktionen der Fouriertransformation
  4. Hermite-Polynome und Rekursionen


C Die Babenko-Beckner Ungleichung

  1. Formulierung der Ungleichung
  2. Der zentrale Grenzwertsatz
  3. Beweis der Babenko-Beckner Ungleichung
Beurteilungskriterien „Kreuzerlübung“ + Tafelleistung
Abhaltungssprache Deutsch
Literatur Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.

G. B. Folland. Lectures on partial differential equations, volume 70 of Tata Institute of Fun- damental Research Lectures on Mathematics and Physics. Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1983.

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Gerald B. Folland. Real analysis. Pure and Applied Mathematics (New York). John Wiley & Sons Inc., New York, second edition, 1999. Modern techniques and their applications, A Wiley- Interscience Publication.

Xavier Saint Raymond. Elementary introduction to the theory of pseudodifferential operators. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1991.

Robert S. Strichartz. A guide to distribution theory and Fourier transforms. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1994.

William Beckner. Inequalities in Fourier analysis. Ann. of Math. (2), 102(1):159–182, 1975.

Michael Beals, Charles Fefferma, and Robert Grossman. Strictly pseudoconvex domains in Cn. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), 8(2):125–322, 1983.

Doina Cioranescu and Patrizia Donato. An introduction to homogenization, volume 17 of Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1999.

Lawrence C. Evans. Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations, vo- lume 74 of CBMS Regional Conference Series in Mathematics. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC, 1990.

[Gut05] Allan Gut. Probability: a graduate course. Springer Texts in Statistics. Springer, New York, 2005.

Elias M. Stein. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton Mathe- matical Series, No. 30. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1970.

Elias M. Stein. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, volume 43 of Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993. With the assistance of Timothy S. Murphy, Monographs in Harmonic Analysis, III.

Elias M. Stein and Guido Weiss. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Princeton Mathematical Series, No. 32.

François TreÌves. Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Vol. 1. Plenum Press, New York, 1980. Pseudodifferential operators, The University Series in Mathematics.

François TreÌves. Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Vol. 2. Plenum Press, New York, 1980. Fourier integral operators, The University Series in Mathematics.
Lehrinhalte wechselnd? Nein
Präsenzlehrveranstaltung
Teilungsziffer 25
Zuteilungsverfahren Direktzuteilung