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[ TMAPAVOPSDO ] VL Pseudodifferentialoperatoren und Fourier-Integraloperatoren
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Es ist eine neuere Version 2022W dieser LV im Curriculum Bachelorstudium Technische Mathematik 2022W vorhanden.
Workload Ausbildungslevel Studienfachbereich VerantwortlicheR Semesterstunden Anbietende Uni
3 ECTS M1 - Master 1. Jahr Mathematik Markus Passenbrunner 2 SSt Johannes Kepler Universität Linz
Detailinformationen
Quellcurriculum Masterstudium Mathematik in den Naturwissenschaften 2012W
Ziele Vermittlung wesentlicher Konzepte und Methoden der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren
Lehrinhalte 1) Einführung

  1. Faltungsintegrale
  2. Fouriertransformation
  3. Temperierte Distributionen


2) Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten

3) Pseudodifferentialoperatoren

  1. Motivation, Definitionen
  2. Einfache Eigenschaften
  3. Asymptotische Entwicklung des Symbols
  4. Partition der Eins, Lokalisierung im Frequenzbereich
  5. Produkt von Pseudodifferentialoperatoren
  6. Die Adjungierte eines Pseudodifferentialoperators
  7. Die Parametrix eines Pseudodifferentialoperators
  8. Lp -Beschränktheit von Pseudodifferentialoperatoren
  9. Sobolevräume und Pseudodifferentialoperatoren


4) Oszillierende Integrale

  1. Motivation: Hochfrequente Asymptotik der Wellengleichung
  2. Methode der stationären Phase
    1. Lineare Phase
    2. Quadratische Phase
    3. Lemma von Morse
  3. Anwendung auf die Wellengleichung


5) Ergänzungen

  1. Zusammenhang zwischen Wellengleichung und Eikonalgleichung
  2. Wellengleichung mit variablen Koeffizienten
  3. Homogenisierung elliptischer Gleichungen


A) Anwendungen von Fouriermultiplikatorsätzen

  1. Die Hilberttransformation
    1. Eigenschaften/Anwendungen der Hilberttransformation .
  2. Die Riesz-Transformation
    1. Eine Anwendung der Riesztransformation


B) Hermite-Funktionen

  1. Definitionen, einfache Eigenschaften
  2. Entwicklung in Hermite-Reihe
  3. Hermite-Funktionen als Eigenfunktionen der Fouriertransformation
  4. Hermite-Polynome und Rekursionen


C) Die Babenko-Beckner Ungleichung

  1. Formulierung der Ungleichung
  2. Der zentrale Grenzwertsatz
  3. Beweis der Babenko-Beckner Ungleichung
Beurteilungskriterien Eine mündliche Prüfung am Ende des Semesters
Lehrmethoden Tafelvortrag kombiniert mit einem Vorlesungsskript
Abhaltungssprache Deutsch
Literatur Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 1998.

G. B. Folland. Lectures on partial differential equations, volume 70 of Tata Institute of Fun- damental Research Lectures on Mathematics and Physics. Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1983.

M. W. Wong. An introduction to pseudo-differential operators. World Scientific Publishing Co. Inc., River Edge, NJ, second edition, 1999.

Gerald B. Folland. Real analysis. Pure and Applied Mathematics (New York). John Wiley & Sons Inc., New York, second edition, 1999. Modern techniques and their applications, A Wiley- Interscience Publication.

Xavier Saint Raymond. Elementary introduction to the theory of pseudodifferential operators. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1991.

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Doina Cioranescu and Patrizia Donato. An introduction to homogenization, volume 17 of Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1999.

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[Gut05] Allan Gut. Probability: a graduate course. Springer Texts in Statistics. Springer, New York, 2005.

Elias M. Stein. Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton Mathe- matical Series, No. 30. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1970.

Elias M. Stein. Harmonic analysis: real-variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, volume 43 of Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993. With the assistance of Timothy S. Murphy, Monographs in Harmonic Analysis, III.

Elias M. Stein and Guido Weiss. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971. Princeton Mathematical Series, No. 32.

François TreÌves. Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Vol. 1. Plenum Press, New York, 1980. Pseudodifferential operators, The University Series in Mathematics.

François TreÌves. Introduction to pseudodifferential and Fourier integral operators. Vol. 2. Plenum Press, New York, 1980. Fourier integral operators, The University Series in Mathematics.
Lehrinhalte wechselnd? Nein
Präsenzlehrveranstaltung
Teilungsziffer -
Zuteilungsverfahren Direktzuteilung